简介
为了应付高代考试，浅浅复习（学习）并整理了一下。
参考教材为《高等代数学》（第四版）--谢启鸿
内容为第五章到第八章内容
1 第五章
1.1 Vieta定理
韦达定理描述多项式的根与系数之间的关系
对于n次多项式 f(x) = x^n + a₁x^(n-1) + a₂x^(n-2) + ... + aₙ
设其n个根为x₁, x₂, ..., xₙ，则：
x₁ + x₂ + ... + xₙ = -a₁ (根的和)
x₁x₂ + x₁x₃ + ... + xₙ₋₁xₙ = a₂ (根的两两乘积之和)
x₁x₂x₃ + ... = -a₃ (根的三三乘积之和) ... n. x₁x₂...xₙ = (-1)^n·aₙ (所有根的乘积)
例如：对于二次方程 x² + px + q = 0 设两根为x₁, x₂ 则： x₁ + x₂ = -p x₁x₂ = q
对于三次方程 x³ + ax² + bx + c = 0 设三根为x₁, x₂, x₃ 则： x₁ + x₂ + x₃ = -a x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = b x₁x₂x₃ = -c
1.2 Eisenstein判别法
Eisenstein判别法用于判断一个多项式是否是不可约多项式
设f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是整系数多项式，如果存在一个素数p满足：
p不整除最高次项系数aₙ
p整除所有其他项系数(aₙ₋₁,aₙ₋₂,...,a₁,a₀)
p²不整除常数项a₀
则f(x)在有理数域上不可约。
例如：判断f(x)=x³+6x²+12x+18是否不可约
取p=3
检查：
3不整除1(最高次项系数)
3整除6,12,18(其他项系数)
3²=9不整除18(常数项)
满足所有条件，所以f(x)在有理数域上不可约
注意事项：
Eisenstein判别法是充分不必要条件
如果直接使用不成功，可以尝试：
替换x为x+k(k为整数)
替换x为kx(k为整数)
不能判定的多项式不一定是可约的
这个判别法在代数学中很有用，特别是在判断多项式不可约性时。
1.3 结式与判别式
结式(Resultant)是判断两个多项式是否有公共根的重要工具
定义： 对于两个多项式 f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ g(x)=bₘxᵐ+bₘ₋₁xᵐ⁻¹+...+b₁x+b₀
结式可以通过以下方式求得：
Sylvester矩阵法：
构建(m+n)×(m+n)的Sylvester矩阵
结式R(f,g)等于Sylvester矩阵的行列式
基本性质：
如果f(x)和g(x)有公共根，则R(f,g)=0
如果R(f,g)=0，则f(x)和g(x)有公共根
R(f,g)可以表示为f(x)和g(x)系数的多项式
例如： f(x)=ax²+bx+c g(x)=px+q 结式为： |a b c 0| |0 a b c| |p q 0 0| |0 p q 0|
应用：
判断多项式是否有公共根
消去方程组中的变量
判断曲线是否相交
注意：
结式为0是两个多项式有公共根的充要条件
计算高次多项式的结式可能很复杂
结式的性质在代数几何中有重要应用
1.4 做题知识点
首一多项式：最高项系数为1的多项式
deg：多项式的最高次数
f(x)是数域 F 上的多项式，且 K 是包含 F 的数域，若f(x)在K上不可约，则f(x)在F上不可约
f(x)是实数域上的多项式，若 p_1(x),p_2(x)是f(x)的不可约因式,且 p_1(x),p_2(x)在有理数域内互素,则 p_1(x),p_2(x)在复数域内无公根
对称多项式：各元素交换后结果不变
例如
2 第六章
2.0 几种矩阵间关系（略微复习）
2.0.1 可逆矩阵
B=A^-
AB=BA=E
判定条件（以下条件等价）：
det(A)≠0（行列式不为零）
矩阵的秩等于阶数
齐次方程组AX=0仅有零解
矩阵A的行（列）向量线性无关
0不是矩阵A的特征值
特征多项式的常数项不等于0
2.0.2 转置矩阵
如果 A 是一个 m×n 的矩阵
那么 A 的转置矩阵 AT 是一个 n×m 的矩阵
AT 中的每个元素 (AT)ij = Aji
转置的性质：(AT)T = A（转置的转置等于原矩阵）
2.0.3 数量矩阵
是一个方阵(行数等于列数)
主对角线上的所有元素都相等
非主对角线上的元素都为0
2.0.4 伴随矩阵
AA* = A*A = |A|I
2.1 特征值
对于任意实数k，|A + kI₃| = (λ₁ + k)(λ₂ + k)(λ₃ + k)
几种矩阵的特征值与原矩阵特征值关系
逆矩阵特征值为原矩阵特征值的倒数
与原矩阵具有相同的特征值
矩阵特征值为λ，其伴随矩阵的特征值为λⁿ⁻¹
转置矩阵特征值与原矩阵相同
2.2 特征向量
2.3 特征矩阵
λ In-A
2.4 特征多项式
|λ In-A |
2.5 矩阵对角化
2.5.1 可对角化矩阵定义
设 A 是 n 阶矩阵，若 A 相似于对角阵，即存在可逆矩阵 P，使 P^{-1}AP 为对角阵，则称 A 为可对角化矩阵
2.5.2 可对角化的充要条件
设 A 是 n 阶矩阵，则 A 的可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
2.6 相似矩阵
相似矩阵具有相同极小多项式
2.7 Cayley-Hamilton定理
设 A 是数域 K 上的 n 阶矩阵， f(x) 是 A 的特征多项式，则 f(A) = O
2.8 极小多项式
若 n 阶矩阵 A (或 n 维线性空间 V 上的线性变换 φ )适合一个非零首一多项式 m(x) ,且 m(x) 是 A (或 φ )所适合的非零多项式中次数最小者,则称 m(x) 是 A (或 φ )的一个极小多项式或最小多项式
2.9 做题知识点
当 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值（有 n 个线性无关的特征向量）时，它必相似于对角矩阵
n 阶矩阵 A 以任一 n 维非零列向量为特征向量的充要条件是 为数量矩阵
属于不同特征值的特征向量必线性无关，属于同一特征值的特征向量也不一定线性相关
相似矩阵必有相同的特征值，特征值相同的矩阵未必相似
若矩阵 A 只和自己相似，则矩阵必为数量矩阵
3 第七章
3.0 相似矩阵
3.0.1 性质
两者的秩相等
两者的行列式值相等
两者的迹数相等
两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
两者拥有同样的特征多项式
两者拥有同样的初等因子
A 和 A^T 相似
3.1 多项式矩阵
3.1.1 \lambda -矩阵
3.1.2 \lambda -矩阵的初等变换
将A(λ) 的两行对换
将 A(λ) 的第 i 行乘以 K 中的非零常数 c
将 A(λ) 的第 i 行乘以 K 上的多项式 f(λ) 后加到第 j 行上去
3.1.2.1 第三类初等矩阵
对\lambda -矩阵 A(λ) 施行第 k(k= 1,2,3)类初等行（列）变换等于用第k 类初等\lambda -矩阵左（右）乘以A(λ)
3.1.2.2 可逆阵
3.2 矩阵的法式（相抵标准型）
在线性代数中，相抵标准型是指矩阵在相抵关系下的一种标准形式。对于给定的矩阵，通过一系列初等行变换和初等列变换，可以将其化为一个相对简单的形式。对于矩阵 A，如果存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ化为相抵标准型，则称 A 与其相抵。
3.2.1 求解方式
找最小非零元素：
将最小非零元素通过行列变换移到左上角(1,1)位置
消元：
用(1,1)位置元素消去第一行和第一列其他元素
重复操作直到无法继续消元
处理子矩阵：
对剩余子矩阵重复上述步骤
直到得到对角矩阵
检查整除关系：
确保对角线上的元素满足整除关系
如果不满足，需要进行调整
3.3 不变因子
3.3.1 行列式因子
3.3.2 不变因子定义
3.3.3 与法式关系
3.4 有理标准型
3.4.1 定义
3.4.2 极小多项式
3.4.3 根据矩阵求有理标准型
求出矩阵的相抵标准型
根据相抵标准型求出行列式因子
根据行列式因子求出不变因子
确定有理标准型矩阵阶数，为不变因子组个数
次对角线为1，最后一行为p(λ)系数的相反数
3.5 初等因子
3.5.1 定义
由因式分解的唯一性可知 A 的初等因子被 A 的不变因子唯一确定
3.5.2 与矩阵相似的关系
3.5.3 根据不变因子组求初等因子组
先从不变因子组中找出所有不同的因式(如λ、λ-1等)
对每个因式:
写出它在每个不变因子中的指数序列(从高次到低次排列)
计算相邻指数的差(指数差)
根据指数差和最高指数确定初等因子
具体规则:
指数差表示在该级别上需要的初等因子的个数
最后一个非零指数决定最高次幂
按照指数从低到高写出初等因子
例如:某因式在不变因子中的指数序列是3,2,1
指数差:3-2=1, 2-1=1
指数差为1,1表示每级都需要1个因子
最高指数为3
所以初等因子为:λ,λ²,λ³
3.5.4 根据初等因子组求不变因子组
确定不变因子组个数，即矩阵阶数，每个初等因子的阶数之和即为所求
从后往前确定不变因子
其余都补1
重要性质：
不变因子个数=矩阵阶数
后面的不变因子可以整除前面的不变因子
所有不变因子的乘积=所有初等因子的乘积
最前面的若干个不变因子一定都是1
3.6 Jordan标准型
3.6.1 重要引理
3.6.2 定义
3.6.3 相关推论
3.6.4 求解方法
求出初等因子
填充
对于k阶Jordan块的标准形式是：
|λ 1 0 ... 0|
|0 λ 1 ... 0|
|0 0 λ ... 0|
|. . . . .|
|0 0 0 ... λ|其中：
λ是特征值
主对角线上全是λ
主对角线上方的次对角线填1
其他所有位置都是0
3.7 做题知识点
矩阵初等因子个数为 jordan 标准型 jordan 块的个数，每个初等因子的次数即为该 jordan 块矩阵阶数
第三类初等多项式矩阵不可对角化
非零幂零矩阵，即A^k = 0，不相似于对角矩阵（不可对角化）
极小多项式（最后一个不变因子）不为0，矩阵必可逆
不变因子组乘积即为特征多项式
若矩阵某特征值为0，矩阵不可逆（为奇异阵）
4 第八章
4.1 矩阵的合同
4.1.1 定义
4.1.2 其他性质
正特征值个数相等，负特征值个数相等
秩相同
合同矩阵的行列式同号或互为相反数
4.2 二次型
4.2.1 定义
二次齐次多项式
4.2.2 特征
每一项都是二次方
4.2.3 矩阵表示
其中 A 就是二次型的矩阵
二次型的矩阵都是对称矩阵
4.2.4 二次型的标准型
4.2.5 与标准型进行转换
4.2.5.1 正交变换法
步骤:
写出矩阵
求特征值
求特征向量
构造正交矩阵
得到标准型
例如:2x² + 2y² + 2xy
矩阵形式: [2 1] [1 2]
求特征值: |2-λ 1 | = 0 |1 2-λ| 得到: λ₁=3, λ₂=1
求特征向量,构造正交矩阵P 最终标准型为: 3u² + v² 其中u,v是新变量
4.2.5.2 配方法
例如: x² + 4xy + 4y²
先对x配方: (x² + 4xy) + 4y² = (x + 2y)² + 4y² - 4y²
最终得到: (x + 2y)²
4.2.6 二次型的化简
4.3 惯性定理
正惯性系数即为正特征值个数，负惯性系数为负特征值个数
4.4 正定型与正定矩阵
4.4.1 重要定理及推论
可逆线性变换不改变二次型的正定型
实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 合同于单位矩阵
实对称矩阵 A 的充要条件是 A 的特征值全部为正值
正定矩阵的行列式大于0
设 A 是实对称矩阵，则 A 正定的充要条件是其顺序主子式均大于0
4.4.2 判定
定义法
对于任意非零向量X，如果二次型f(X) > 0，则为正定
即对所有非零的(x₁,x₂,...,xₙ)，都有f(x₁,x₂,...,xₙ) > 0
特征值法
计算矩阵的所有特征值
如果所有特征值都大于0，则为正定
如果有特征值≤0，则不是正定
顺序主子式法（最常用）
计算矩阵的各阶顺序主子式
如果所有顺序主子式都大于0，则为正定 例如对于3阶矩阵：
|a₁₁| > 0
|a₁₁ a₁₂|
|a₂₁ a₂₂| > 0
|a₁₁ a₁₂ a₁₃|
|a₂₁ a₂₂ a₂₃| > 0
|a₃₁ a₃₂ a₃₃|4.5 做题知识点
若 A 是 n 阶实反对称矩阵，则AA^T必是半正定阵，当A可逆时，AA^T必是正定阵
设可逆矩阵 A 和 B 合同,问A^-和B^-合同
任意两个同阶正定阵合同（都合同于单位阵）
矩阵是正定阵，其伴随矩阵也是正定阵
设 A 是正定阵，A^k（k>1)也是正定阵
矩阵特征值为0，不是正定阵
设 n 阶实对称矩阵 A , B 都是正定阵，\left( \begin{matrix} A & 0\\ 0 & B \end{matrix} \right) \tag{2} 也是正定阵
评论区